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   问题:

【已知点p(4,4),圆C(x-m)^2+y^2=5(m<3)与椭圆Ex^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)有一个公共点A(1,3)F1,F2分别是椭圆的左右焦点,直线PF1与圆C相切,1)求m的值与椭圆E的方程,2)设Q是椭圆E上的一个动点,求向量AP*向】

问题描述:

已知点p(4,4),圆C(x-m)^2+y^2=5(m<3)与椭圆Ex^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)有一个公共点A(1,3)

F1,F2分别是椭圆的左右焦点,直线PF1与圆C相切,1)求m的值与椭圆E的方程,2)设Q是椭圆E上的一个动点,求向量AP*向量AQ的取值范围

潘锋回答:

  (1)由于:A(3,1)在圆c:(x-m)^2+y^2=5

  和椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1上

  则有:(3-m)^2+1^2=5-----(1)

  9/a^2+1/b^2=1-----(2)

  解(1)可得:m=5或1

  由于:m0;则由上式得:c=4

  则有:a^2-b^2=c^2=16------(3)

  联立(1)(3)可得:a^2=18,b^2=2

  则:椭圆E的方程:x^2/18+y^2/2=1

  (2)

  设Q(x,y);由于:P(4,4)A(3,1)

  则:向量AP=(1,3);向量AQ=(x-3,y-1)

  则:向量AP*向量AQ

  =1*(x-3)+3*(y-1)

  =x-3+3y-3

  =x+3y-6

  由于:Q(x,y)为椭圆E上的一个动点

  且椭圆E:x^2/18+y^2/2=1

  则利用椭圆的参数方程

  则令x=3√2cosa,y=√2sina(a属于R)

  则:向量AP*向量AQ=x+3y-6

  =3√2cosa+3√2sina-6

  =3√2(sina+cosa)-6

  =3√2(√2)[(√2/2)sina+(√2/2)cosa]-6

  =6[sinacos45+sin45cosa]-6

  =6sin(a+45)-6

  由于:a属于R,则:(a+45)属于R

  则:sin(a+45)属于[-1,1]

  则:6sin(a+45)-6属于[-12,0]

  即:向量AP*向量AQ的取值范围:[-12,0]